- ευθεία
- Στη στοιχειώδη γεωμετρία η έννοια ε. είναι έννοια αρχική (δεν ορίζεται). Την έννοια της ε. σχηματίζουμε, αν τεντώσουμε ένα λεπτό νήμα· όσο το νήμα αυτό είναι πιο λεπτό, τόσο η μορφή του μας κάνει vα αντιληφθούμε πληρέστερα αυτό που λέμε ε.
Στη στοιχειώδη γεωμετρία δεχόμαστε για την ε. τα εξής αξιώματα: κάθε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να νοηθεί όσο και αν το προεκτείνουμε προς τα δύο άκρα του, χωρίς να πάψει να είναι ευθύγραμμο τμήμα· από κάθε δύο διαφορετικά σημεία περνάει μία και μόνο ε.· το ευθύγραμμο τμήμα είναι ο μικρότερος δρόμος από ένα σημείο σε άλλο.
Στην αναλυτική γεωμετρία ο όρος ε. ορίζεται ως εξής: σε ένα επίπεδο θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων (καρτεσιανών) xΟψ. Το σύνολο των σημείων (x,ψ) του επιπέδου xΟψ, που χαρακτηρίζεται από μια εξίσωση: αx + βψ + γ = 0, όπου α, β, γ, είναι πραγματικοί αριθμοί με α ≠ 0 ή β ≠ 0 ονομάζεται ε. Αν είναι β ≠ 0, τότε η προηγούμενη εξίσωση γράφεται και: ψ = λx + μ [θέσαμε λ = και μ = ].
O αριθμός λ ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ε.
Γενικά, το διάνυσμα {β, - α} ονομάζεται διάνυσμα διεύθυνσης της ε. με εξίσωση αx + βψ + γ = 0. Στην αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου η ε. μπορεί να παρασταθεί και παραμετρικά με τον εξής τρόπο: x = x0 + αt, ψ = ψ0 + βt, όπου t∈R (δηλαδή το t διατρέχει το σύνολο R των πραγματικών αριθμών) και οι α,β είναι πραγματικοί αριθμοί, όχι ίσοι με το μηδέν και οι δύο. [Για t = 0 έχουμε το σημείο (x,ψ) = (x0, ψ0) της ευθείας]. Η προηγούμενη παράσταση με διανυσματικό τόπο γράφεται: (x,ψ) = (x0,ψ0) + (α,β)t και, αν τεθεί , , , . Ο συμβολισμός αυτός καλύπτει και την περίπτωση του ορισμού της έννοιας ε. στον ευκλείδειο ν-διάστατο χώρο. Λεπτομερέστερα η προηγούμενη παράσταση είναι: x1 = x01 + κ1t, x2 = x02 + κ2t,…, xv = x0v + κvt. Ειδικά στην περίπτωση του επιπέδου (ν = 2), αν ω είναι η γωνία της ε. με το x - άξονα, η ε. παριστάνεται έτσι: x συνω + ψημω – ρ = Ο [ρ > 0 είναι απόσταση του Ο, αρχής των αξόνων, από την ε.]. Η μορφή αυτή λέγεται κανονική 1 (μορφή της εξίσωσης της ε. στο επίπεδο). Κάθε ε. αx + βψ + γ = 0 μπορεί να παρασταθεί με την προηγούμενη κανονική μορφή.
* * *η (ΑΜ εὐθεῑα)βλ. ευθύς.
Dictionary of Greek. 2013.